C3: Contando simetrías, Ernesto Vallejo Ruiz
Resumen: Dentro de la combinatoria hay varios problemas de conteo que dependen de los objetos que
se desea contar. Un ejemplo clásico es el de los collares puestos sobre una mesa: ¿cuántos collares
hay con 8 cuentas y 3 colores? La simetría de estos objetos es rotacional. Otro ejemplo. ¿De cuántas
maneras podemos colorear las caras de un cubo con a lo más 7 colores? En este caso las simetrías
consideradas son las rotaciones del cubo en el espacio. En este curso mostramos un método, basado
en teoremas de Frobenius, Burnside y Pólya, que resuelve estos y otros problemas.
El método usa las nociones de grupo y de acción de un grupo en un conjunto.
C4: Medida y categoría en la recta real, Cristina Villanueva Segovia
Resumen: En este curso estudiaremos distintas maneras de decir que un conjunto es "pequeño" en la recta real.
En particular, nos centraremos en las nociones de "pequeñez" que surgen a partir de la medida de Lebesgue
y de las categorías de Baire (ambos conceptos serán introducidos en el curso). Nuestra motivación será
tratar de entender en qué sentido estos conceptos son análogos, opuestos, uno más fuerte que el otro, etc.,
esto nos llevará, por un lado, a estudiar propiedades particulares de los conjuntos "pequeños" y "grandes"
(según la noción que estemos usando) y por el otro, a adentrarnos en la estructura de la recta real,
construyendo ejemplos contraintuitivos (o por lo menos, no intuitivos). Hablaremos también de lo que
no es ni pequeño, ni grande, es decir, conjuntos que se escapan de poder ser clasificados según estas
nociones de pequeñez.
* En este curso partiremos unicamente de nociones generales de topología y análisis real, no es
necesario haber llevado un curso de teoría de la medida, ni de teoría de conjuntos.