Temas selectos de álgebra II - 3 hrs/sem
Hernández Hernández Jesús
Acciones de grupos es espacios Gromov-hiperbólicos
El objetivo de este curso es que los estudiantes tengan los conocimientos básicos y generales de las propiedades de los grupos que admiten acciones (no triviales) en espacios Gromov-hiperbólicos. En particular, se verán la frontera de espacios Gromov-hiperbólicos, clasificación de acciones de Gromov, alternativa de Tits para grupos hiperbólicos, subgrupos libres, grupos semihiperbólicos, longitud de traslación algebraica, problemas de palabra y conjugación en grupos semihiperbólicos, y balanceo y consecuencias en subgrupos de grupos semihiperbólicos.
Temario
1. Conceptos básicos de hiperbolicidad. [4], [1]
a) Definiciones equivalentes.
b) Invarianza cuasiisométrica.
c) Geodésicas y geodésicas locales.
2. Frontera de espacios Gromov-hiperbólicos. [2], [4]
a) Definiciones equivalentes.
b) Metrizabilidad.
c) Invarianza cuasiisométrica.
d ) Derivada dinámica.
e) Clasificación de isometrías.
3. Clasificación de acciones de Gromov. [2], [4], [3]
a) Acciones elípticas.
b) Acciones lineales.
c) Acciones parabólicas.
d ) Acciones cuasiparabólicas.
e) Acciones de tipo general.
4. Grupos hiperbólicos. [4], [1]
a) Presentaciones finitas y el problema de la palabra.
b) Diagramas de van Kampen anulares y problema de la conjugación.
c) Falta de elementos parabólicos.
d ) Subgrupos de grupos hiperbólicos.
5. Grupos semihiperbólicos. [1]
a) Estructuras bipeinables y espacios semihiperbólicos.
b) Invarianza cuasiisométrica y caracterización algebraica.
c) Problema de la conjugación.
d ) Cuasiconvexidad y no distorsión de grupos.
e) Teorema del toro algebraico.
f ) Subgrupos admisibles.
Bibliografía
[1] Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature, volume 319 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1999.
[2] Tushar Das, David Simmons, and Mariusz Urbański. Geometry and dynamics in Gromov hyperbolic metric spaces, volume 218 of Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society, Providence, RI, 2017. With an emphasis on non-proper settings.
[3] Cornelia Druţu and Michael Kapovich. Geometric group theory, volume 63 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI, 2018. With an appendix by Bogdan Nica.
[4] Étienne Ghys and Pierre de la Harpe, editors. Sur les groupes hyperboliques d’après Mikhael Gromov, volume 83 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990. Papers from the Swiss Seminar on Hyperbolic Groups held in Bern, 1988.
Requisitos
Tener los conocimientos básicos de la Teoría Geométrica de Grupos. En particular: acciones por isometrías en espacios métricos, estructuras geométricas en grupos, espacios de fines y funciones de Dehn.
