Temas selectos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales I - 4.5 hrs/sem
Naumkin Pavel
Ecuaciones de evolución no lineales con condiciones periódicas.
Comprender los métodos analíticos empleados en la obtención de asintóticas de largo tiempo para ecuaciones de evolución no lineales con condiciones periódicas.
Desarrollar las técnicas de estimación a priori y continuidad global basadas en descomposición en modos de Fourier.
Analizar el papel del modo medio y de las perturbaciones de alta frecuencia en el comportamiento asintótico de las soluciones.
Aplicar los métodos estudiados al caso del problema periódico para la ecuación de Schrödinger no lineal cuadrática y otros modelos afines.
Extender los resultados a ecuaciones de mayor complejidad no lineal o con disipación no local.
Temario
I. Fundamentos analíticos y marco funcional
Revisión de ecuaciones de evolución no lineales (tipo Schrödinger, onda, KdV).
Espacios de Sobolev periódicos $H^s(\Omega)$ y su estructura de Fourier.
Descomposición en modo medio y parte oscilatoria.
Propiedades de existencia y unicidad local en $H^1(\Omega)$.
II. Problemas periódicos y formulación del modelo
Ecuación de Schrödinger no lineal cubica periódica con condiciones periódicas $u(t, x+2\pi) = u(t,x)$.
Interpretación física y comparación con modelos dispersivos clásicos.
Pequeñez de los datos iniciales y estabilidad global.
III. Estimaciones a priori y existencia global
Descomposición en serie de Fourier y evolución de los coeficientes de Fourier.
Métodos de energía y desigualdades tipo Grönwall con factores exponenciales.
Obtención de cotas uniformes y demostración de continuidad global.
IV. Asintótica de tiempo largo
Teorema principal de asintótica:
Convergencia del argumento de fase ψ(t,x)→0.
Estabilidad y persistencia de la estructura periódica.
Interpretación del perfil autosemejante
V. Extensiones y generalizaciones
Aplicaciones a ecuaciones de tipo onda amortiguada y modelos dispersivos con términos cúbicos o mixtos.
Comparación con el caso no periódico y condiciones de frontera de tipo Neumann.
Perspectivas para ecuaciones fraccionarias o con términos no locales.
Bibliografía
Hayashi, N., Naumkin, P.I. (2023). Large time asymptotics of solutions to the periodic problem for the quadratic nonlinear Schrödinger equation. NoDEA, 30:23.
Naumkin, P.I., Shishmarev, I.A. (1994). Nonlinear nonlocal equations in the theory of waves. AMS.
Hayashi, N., Naumkin, P.I., Rodríguez-Ceballos, J.A. (2010). Asymptotics of solutions to the periodic problem for the nonlinear damped wave equation. NoDEA, 17(3):355–369.
Strauss, W. (1989). Nonlinear Wave Equations. AMS.
Requisitos
