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Cursos Básicos

Álgebra

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Grupos
1.1 Homomorfismos y teoremas de isomorfía
1.2 Grupo simétrico. Clases de conjugación. Conjuntos de generadores
1.3 Acciones de grupos en conjuntos y representaciones por permutaciones
1.4 Automorfismos y productos semidirectos
1.5 Teoremas de Sylow. Aplicaciones
1.6 Series de composición, grupos solubles y nilpotentes
1.7 Grupos libres y presentaciones. Definición y ejemplos
1.8 Grupos abelianos divisibles (optativo)

2. Anillos
2.1 Anillos de polinomios
2.2 Dominios de ideales principales
2.3 Estructura de módulos finitamente generados sobre dominios de ideales principales
2.4 Teorema de factorización única en anillos de polinomios

3. Campos
3.1 Extensiones
3.2 Campos finitos
3.3 Cerradura algebraica
3.4 Teoría de Galois
3.5 Aplicaciones de la teoría de Galois
Bibliografía

  • Alperin, J. L. y Bell, R. W. Groups and Representations, GTM 162, Springer, 1995
  • Artin, E. Galois Theory, Notre Dame, 1955
  • Artin, M. Algebra, Prentice Hall, 1991
  • Birkhoff, G. y MacLane, S. Algebra, 2a. edición, MacMillan, 1979
  • Dummit y Foote, Abstract Algebra, Prentice Hall, 1991
  • Fraleigh, J. B., Algebra Abstracta, Addison Wesley, 1988
  • Jacobson, N. Basic Algebra, 2 vols., W. H. Freeman, 1985 y 1989
  • Kaplansky, I. Fields and Rings, University of Chicago Press, 1973
  • Lang, S. Algebra, Addison Wesley, 1993
  • Morandi, Patrick. Field and Galois Theory, New York, GTM 167, Springer Verlag, 1996
  • Rotman, J. An Introduction to the Theory of Groups, GTM 148, Springer, 4a. edición, 1995
  • Stewart, I. Galois Theory, 2nd edition, Chapman and Ha1l, 1989
  • Zaldivar, F. Teoría de Galois, Anthropos-UAM, 1996.

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Variedades afines
1.1 Conjuntos algebraicos
1.2 Topología de Zariski
1.3 Componentes irreducibles
1.4 Dimensión de Krull

2. Morfismos
2.1 Funciones regulares
2.2 Campo de funciones
2.3 Morfismos
2.4 Antiequivalencia variedades afines - dominios finitamente generados sobre k

3. Localización
3.1 Fracciones
3.2 Producto Tensorial
3.3 Anillos y módulos de longitud finita

4. Descomposición primaria
4.1 Primos asociados
4.2 Descomposición primaria
4.3 Interpretación geométrica
5. Dependencia integral
5.1 Teorema de Cayley-Hamilton y lema de Nakayama
5.2 Dominios normales
5.3 Primos en extensiones enteras
5.4 Teorema de ceros de Hilbert (Nullstellensatz)

6. Lema de Artin-Rees
6.1 Anillos y módulos graduados asociados
6.2 El álgebra de la explosión (blowup)
6.3 Teorema de intersección de Krull

7. Módulos planos
7.1 El funtor Tor y caracterizaciones de módulos pIanos
8. Completaciones
8.1 Propiedades básicas
8.2 Lema de Hensel
8.3 Teoría de Cohen (sin demostraciones)

9. Teoría de dimensión (sin demostraciones)
9.1 Axiomas, anillos afines y normalización de Noether
9.2 Sistemas de parámetros y teorema de ideales principales de Krull
9.3 Polinomios de Hilbert
Bibliografía

  • Atiyah, M. F. y Macdonald, I. G. Introduction to Commutative Algebra, Addison Wesley, Reading, MA; 1969.
  • Eisenbud, D. Commutative Algebra with a view towards Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag, New York, 1995.
  • Hartshorne, R. Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer- Verlag, New York, 1977.
  • Matsumura, H. Commutative Algebra, W. A. Benjamin, New York, 1970.
  • Matsumura, H. Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1986.

Análisis

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Espacios Métricos
1.1 Definición
1.2 Ejemplos
1.3 Topología
1.4 Convergencia
1.5 Espacios Completos

2. Morfismos
2.1 Definición
2.2 Ejemplos
2.3 Subespacios
2.4 Bases
2.5 Completitud
2.6 Compacidad
2.7 Lema de Riesz
2.8 Operadores lineales y funcionales
2.9 Operadores Continuos y norma
2.10 Ejemplos
2.11 Espacio dual

3. Espacios normados y de Banach
3.1 Definición. Ortogonalidad. Ejemplos
3.2 Completitud. Subespacios. Complementos ortogonales. Proyección
3.3 Conjuntos ortogonales y totales
3.4 Bases. Desigualdad de Bessel. Espacios separables
3.5 Ejemplos de bases
3.6 Teorema de Riesz
3.7 Aplicaciones: Lax Milgram, aproximación, splines
3.8 Operadores adjuntos
3.9 Operadores autoadjuntos, unitarios y normales

4. Teoremas fundamentales
4.1 Teorema de Hahn Banach, duales y espacios reflexivos
4.2 Teorema de acotamiento uniforme, ejemplos, convergencia débil y aplicaciones.
Teorema de Banach-Alaogla
4.3 Teorema de la aplicación abierta y de la gráfica cerrada. Operadores cerrados
4.4 Teorema de punto fijo de Banach y aplicaciones

5. Teoría espectral de operadores acotados
5.1 Definiciones espectrales. Teorema espectral, analiticidad
5.2 Operadores compactos, sucesiones de operadores compactos, adjunto y espectro
5.3 Operadores de Fredholm y ascenso
5.4 Alternativa de Fredholm y aplicaciones
5.5 Operadores autoadjuntos
5.6 Descomposición espectral
5.7 Operadores Positivos
5.8 Análisis funcional de operadores y teorema espectral
5.9 Aplicaciones

6. Teoría espectral de operadores autoadjuntos
6.1 Operadores no acotados, cerrados y autoadjuntos
6.2 Extensiones
6.3 Propiedades espectrales
6.4 Representación espectral de operadores unitarios y de operadores autoadjuntos
6.5 Aplicaciones
Bibliografía

  • Kreyszig, E., Introductory functional analysis with applications, John Wiley and Sons, 1978.
  • Schechter, M., Principles of functional analysis, Academic Press, 1971.
  • Akhiezer, N. I. And I. M. Glazman., Theory of linear operators in Hilbert spaces, Ungar, 1966.
  • Nirenberg, L., Functional analysis, CIMS Lecture Notes, 1961.
  • Brezis, H, Analyse fonctionnelle, Mason, 1983.
  • Kenevan, S., Topics in functional analysis and applications, Wiley, 1989.
  • Rudin, W., Functional analysis, McGraw Hill, 1973
  • Riesz, F. and B. Sg-nagy., Functional analysis, Ungar, 1955.
  • T. Husain., Orthogonal Schauder bases, Pure and Applied Mathematics, M. Decker, 1991.

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Introducción
1.1 Topología, métricas y continuidad
1.2 Topologías producto y compacidad
1.3 Completez y compacidad en espacios métricos
1.4 Algunos espacios métricos
1.5 Completación de espacios métricos

2. Medidas abstractas
2.1 Anillos, álgebras y -álgebras
2.2 Espacios de medida
2.3 Medidas exteriores
2.4 Completación de medidas
2.5 Medida de Lebesgue y conjuntos no medibles

3. Integración
3.1 Integral de funciones simples y de funciones no negativas
3.2 Integrabilidad de funciones con valores en los reales extendidos
3.3 Teorema de convergencia monótona
3.4 Lema de Fatou
3.5 Teorema de convergencia dominada

4. Espacios LP
4.1 Definición de espacios LP
4.2 Desigualdades de Minkowski y Hölder
4.3 Normas y completez en LP
4.4 Convergencias puntual, casi en todas partes y en LP, comparación entre ellas
4.5 Inclusión de los espacios LP y relación entre dos medidas
4.6 Medidas con signo, teoremas de Radon Nykodym y representaciones

Bibliografía

  • Bartle R., The elements of integration and Lebesgue measure, Wiley Classics Library Edition, 1995.
  • Dudley, R. M., Real analysis and probability, Belmont, Wadsworth and Brooks-Cole, 1989.
  • Royden, H., Analysis, Collier-Macmillan Press Editors, 1968.
  • Ash, R. B., Real analysis and probability, New York, Academic Press, 1972.
  • Cohn, D. L., Measure theory, Boston, Birkhauser, 1980.
  • Doob, J. L., Measure theory, New York, Springer Verlag, 1994.
  • Halmos, P. R., Measure theory, New York, Springer Verlag, 1974.
  • Rudin, W., Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1977.
  • Wheeden, R. L., Sigmund, A., Measure and integral, Marcel Dekker Inc., 1977.

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Funciones de variable compleja
1.1 Funciones analíticas en regiones
1.2 Transformaciones lineales
1.3 Superficies de Riemann elementales

2. Integración compleja
2.1 Singularidades removibles, ceros, polos y principio del máximo
2.2 La forma general del teorema de Cauchy
2.3 Cálculo de residuos

3. Transformación conforme
3.1 El teorema de la transformación de Riemann
3.2 La fórmula de Scharwz-Christoffel y otras transformadas conformes
3.3 Funciones armónicas
3.4 El problema de Dirichlet
3.5 Transformaciones canónicas de regiones múltiplemente conexas

4. Series y productos
4.1 Teorema de Weierstrass
4.2 Series de Taylor y de Laurent
4.3 Productos infinitos
4.4 La función gamma

5. Funciones elípticas

6. Aplicaciones

Bibliografía

  • Alfors, L. V. Complex analysis, McGraw Hill, 1996.
  • Conway, J. B. Functions of one complex variable. Springer Verlag, Graduate Text in Mathematics, 1975,
  • Nehari, Z. Conformal mapping. Dover 1975.
  • Siegel, C. L. Topics in complex function theory Vol 1: Elliptic funcitons and uniformization theory. Wiley Interscience, 1969.
  • Titchmarsh, E. C. The theory of functions. Oxford University Press 1939.
  • Whittaker, E. T. y Watson, G. N. A course of modern analysis. Cambridge University Press, 1973.

Análisis Numérico

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Sistemas Numéricos de punto flotante
1.1 Condición de un problema numérico
1.2 Estabilidad de un método
1.3 Problemas bien y mal planteados

2. Solución de ecuaciones escalares
2.1 Métodos de bisección
2.2 Newton
2.3 Secante
2.4 Aproximaciones sucesivas
2.5 Puntos fijos.
2.6 Rapidez de convergencia

3. Álgebra lineal numérica
3.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales
3.2 Factorización LU
3.3 Estrategias de pivoteo
3.4 Estabilidad y condición
3.5 Factorización de Cholesky

4. Mínimo de cuadrados lineales
4.1 Ecuaciones normales de Euler
4.2 Descomposición QR.
4.3 Problema de rango deficiente
4.4 Descomposición en valores singulares
4.5 Análisis de error

5. Valores y vectores propios
5.1 Método de potencia
5.2 Iteración inversa
5.3 Método de Rayleigh
5.4 Algoritmo QR.

6. Aproximación de funciones
6.1 Interpolación polinomial
6.2 Diferencias divididas
6.3 Interpolación de Hermite
6.4 Interpolación spline
6.5 Interpolación trigonométrica
6.6 Transformada de Fourier rápida

7. Diferenciación e integración numérica
7.1 Diferenciación numérica usando interpolación
7.2 Reglas básicas de cuadratura
7.3 Newton-Cotes
7.4 Gaussiana
7.5 Cuadratura adaptiva
7.6 Teoría de Sard
7.7 Método de Montecarlo

Bibliografía

  • Kincaid, D., Cheney, W., Numerical analysis, Books/Co1e, 1991
  • Stoer, J. Bulirsch, R., Introduction to numerical analysis, 2nd Edition, Springer- Verlag, 1994
  • Golub, G.H., Ortega, J.M., Scientific Computing and Differential Equations. An Introduction to Numerical Methods, Academic Press, 1992
  • Golub, G.H., Van Loan ,Ch., Matrix Computations, 3rd Edition, USA, John Hopkins University Press, 1996
  • Hammerlin, G. and Hoffmann, K.K., Numerical Mathematics, Springer Verlag, Undergraduate Texts in Mathematics Series, 1991.
  • Kahaner, D., et al. Numerical Methods and Software, Prentice Hall, 1989
  • Niederreiter, H., Random number generation and quasi-Monte Carlo Methods, CBMS NS Regional Conference Ser. In Applied Mathematics, SlAM, 1992

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Ecuaciones Parabólicas
1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión. convergencia y estabilidad
1.2 Condiciones de frontera
1.3 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: Métodos explícitos e implícitos de dirección alternante (A.D.I.)
1.4 Métodos locales de una dimensión
1.5 Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones. Métodos explícitos e implícitos.
1.6 Esquemas en diferencias en tres niveles: explícitos e implícitos
1.7 Ecuaciones no lineales

2. Ecuaciones elípticas
2.1 Ecuaciones elípticas en dos dimensiones
2.2 Ecuación de Laplace en un cuadrado
2.3 El problema de Neumann
2.4 Condiciones de frontera mixtas
2.5 Regiones no rectangulares
2.6 Ecuaciones elípticas autoadjuntas
2.7 Otros métodos para construir esquemas en diferencias
2.8 Propiedades generales de los esquemas en diferencias
2.9 La ecuación biharmonica
2.10 Métodos iterativos clásicos
2.11 Métodos de factorización directa
2.12 Métodos de gradientes conjugados
2.13 Métodos A.D.I.
2.14 Problemas de eigenvalores

3. Ecuaciones Hiperbólicas
3.1 Ecuaciones hiperbólicas de primer orden, esquemas en diferencias explicitas e implícitas
3.2 Sistemas hiperbólicos de primer orden en una dimensión
3.3 Leyes de conservación
3.4 Sistemas hiperbólicos de primer orden en dos dimensiones
3.5 Disipación y dispersión
3.6 Estabilidad de problemas con valor inicial
3.7 Inestabilidad no lineal
3.8 Ecuaciones de segundo orden en una y dos dimensiones

4. Aplicaciones
4.1 Esquinas reentrantes y singularidades en la frontera
4.2 Flujo viscoso incompresible
4.3 Flujo compresible
4.4 Problemas con frontera libre
4.5 Crecimiento del error en problemas de conducción-convección


Bibliografía

  • Mitchell, A.R. and Griffiths, D.F ., The Finite Method in Partial Differential Equations, Wiley, 1980.
  • Smith, G. D., J Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Clarendon Press,3rd. Edition, 1985
  • Strikwerda, J. C., Finite D Schemes and Partial D Equations, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1989
  • Ames, V A., Numerical Methods for Partial D. Equations, Academic Press, 3td. Edition, 1977
  • Lapidus, L. and Pinder, G. F ., Numerical Solution of Partial Differential Equations iii Science and Engineering, Wiley, 1982
  • Meis, T. and Marcowitz, U., Numerical Solution of Partial D Equations, Springer Applied Math. Scies. Ser 32, 1981
  • Richtmyer, R.D. and Morton, K.W., Difference Methods for Initial- Value Problems, Wiley, 2ndEdition, 1967
  • Godlewski E., Raviat P ., Numerical approximation of hyperbolic system s of conservation laws, Applied Math. Sciences, 118 Springer Verlag, 1996

Ecuaciones Diferenciales

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Ecuaciones Parabólicas
1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión. convergencia y estabilidad
1.2 Condiciones de frontera
1.3 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: Métodos explícitos e implícitos de dirección alternante (A.D.I.)
1.4 Métodos locales de una dimensión
1.5 Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones. Métodos explícitos e implícitos.
1.6 Esquemas en diferencias en tres niveles: explícitos e implícitos
1.7 Ecuaciones no lineales

2. Ecuaciones elípticas
2.1 Ecuaciones elípticas en dos dimensiones
2.2 Ecuación de Laplace en un cuadrado
2.3 El problema de Neumann
2.4 Condiciones de frontera mixtas
2.5 Regiones no rectangulares
2.6 Ecuaciones elípticas autoadjuntas
2.7 Otros métodos para construir esquemas en diferencias
2.8 Propiedades generales de los esquemas en diferencias
2.9 La ecuación biharmonica
2.10 Métodos iterativos clásicos
2.11 Métodos de factorización directa
2.12 Métodos de gradientes conjugados
2.13 Métodos A.D.I.
2.14 Problemas de eigenvalores

3. Ecuaciones Hiperbólicas
3.1 Ecuaciones hiperbólicas de primer orden, esquemas en diferencias explicitas e implícitas
3.2 Sistemas hiperbólicos de primer orden en una dimensión
3.3 Leyes de conservación
3.4 Sistemas hiperbólicos de primer orden en dos dimensiones
3.5 Disipación y dispersión
3.6 Estabilidad de problemas con valor inicial
3.7 Inestabilidad no lineal
3.8 Ecuaciones de segundo orden en una y dos dimensiones

4. Aplicaciones
4.1 Esquinas reentrantes y singularidades en la frontera
4.2 Flujo viscoso incompresible
4.3 Flujo compresible
4.4 Problemas con frontera libre
4.5 Crecimiento del error en problemas de conducción-convección


Bibliografía

  • Mitchell, A.R. and Griffiths, D.F ., The Finite Method in Partial Differential Equations, Wiley, 1980.
  • Smith, G. D., J Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Clarendon Press,3rd. Edition, 1985
  • Strikwerda, J. C., Finite D Schemes and Partial D Equations, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1989
  • Ames, V A., Numerical Methods for Partial D. Equations, Academic Press, 3td. Edition, 1977
  • Lapidus, L. and Pinder, G. F ., Numerical Solution of Partial Differential Equations iii Science and Engineering, Wiley, 1982
  • Meis, T. and Marcowitz, U., Numerical Solution of Partial D Equations, Springer Applied Math. Scies. Ser 32, 1981
  • Richtmyer, R.D. and Morton, K.W., Difference Methods for Initial- Value Problems, Wiley, 2ndEdition, 1967
  • Godlewski E., Raviat P ., Numerical approximation of hyperbolic system s of conservation laws, Applied Math. Sciences, 118 Springer Verlag, 1996

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Existencia y unicidad de soluciones
1.1 Contracciones
1.2 Existencia de soluciones
1.3 Desigualdad de Gronwall
1.4 Unicidad
1.5 Dependencia continua respecto a condiciones iniciales y parámetros

2. Sistemas lineales
2.1 Sistemas con coeficientes constantes
2.2 Clasificación de puntos críticos en el plano
2.3 Sistemas con coeficientes periódicos en el plano
2.4 Sistemas con coeficientes asintóticamente constantes
2.5 Soluciones fundamentales
2.6 Soluciones periódicas y su estabilidad
2.7 Teoría de Floquet
2.8 Existencia de soluciones globales
2.9 Problemas de Sturm-Liouville
2.10 Teoremas de oscilación y comparación para ecuaciones lineales de segundo orden

3. Perturbaciones de sistemas lineales
3.1 Sistemas no lineales
3.2 Estabilidad lineal de puntos críticos
3.3 Persistencia de nodos y focos no degenerados

4. Sistemas autónomos en el plano
4.1 Sistemas conservativos: el péndulo, ondas viajeras para KdV, ondas estacionarias para algunas ecuaciones de reacción y difusión
4.2 Sistemas disipativos: campos vectoriales, gradiente, funciones de Lyapunov, ondas viajeras para algunas ecuaciones de reacción y difusión
4.3 La ecuación de Lotka y Volterra. Los osciladores de Van de Pol y Duffing
4.4 Puntos límite de trayectorias. Teorema de Poincaré-Bendixson. Clasificación de conjuntos límite
4.5 Soluciones globales. Variedades estables e inestables de puntos críticos
4.6 Sistemas no autónomos: las ecuaciones de Vander Pol y Duffing con Forzamieíito

Temas opcionales:

5. Métodos de perturbación
5.1 Perturbaciones regulares y singulares en la ecuación de Van del Pol
5.2 Promediación

6. Variedades invariantes en dimensiones superiores 6.1 Soluciones globales
6.2 Estudio de variedades invariantes locales: variedades estables e inestables de puntos críticos
6.3 Variedad central
6.4 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas
6.5 Variedad estable e inestable de una órbita periódica
6.6 Teorema de Hartman

Bibliografía

  • Birkhoff, G. and G. G. Rota, Ordinary differential equations. 3 edition, John Wiley and Sons, 2nd Edition, 1991
  • Brauer, F. and J. Nohel, Qualitative theory of differential equations, W. A. Benjamin, 1969
  • Coddington, E. and N. Levinson, Theory of ordinary differential equations, McGraw Hill, 1955
  • Guckenheimer, J. and P. Holmes, Nonlinear oscillations dynamical systems and b of vector fields,, ‘Springer Verlag Applied Mathematical Sciences, 1983
  • Hale, J., Ordinary D. equations, Wiley-Interscience, 1969
  • Hale, J. and Hüseyin Koçalc. Dynamics and bifurcations, Springer Verlag, Texts iii Applied Mathematics, 1991

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Ecuaciones Parabólicas
1.1 Ecuaciones parabólicas en una dimensión. convergencia y estabilidad
1.2 Condiciones de frontera
1.3 Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones: Métodos explícitos e implícitos de dirección alternante (A.D.I.)
1.4 Métodos locales de una dimensión
1.5 Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones. Métodos explícitos e implícitos.
1.6 Esquemas en diferencias en tres niveles: explícitos e implícitos
1.7 Ecuaciones no lineales

2. Ecuaciones elípticas
2.1 Ecuaciones elípticas en dos dimensiones
2.2 Ecuación de Laplace en un cuadrado
2.3 El problema de Neumann
2.4 Condiciones de frontera mixtas
2.5 Regiones no rectangulares
2.6 Ecuaciones elípticas autoadjuntas
2.7 Otros métodos para construir esquemas en diferencias
2.8 Propiedades generales de los esquemas en diferencias
2.9 La ecuación biharmonica
2.10 Métodos iterativos clásicos
2.11 Métodos de factorización directa
2.12 Métodos de gradientes conjugados
2.13 Métodos A.D.I.
2.14 Problemas de eigenvalores

3. Ecuaciones Hiperbólicas
3.1 Ecuaciones hiperbólicas de primer orden, esquemas en diferencias explicitas e implícitas
3.2 Sistemas hiperbólicos de primer orden en una dimensión
3.3 Leyes de conservación
3.4 Sistemas hiperbólicos de primer orden en dos dimensiones
3.5 Disipación y dispersión
3.6 Estabilidad de problemas con valor inicial
3.7 Inestabilidad no lineal
3.8 Ecuaciones de segundo orden en una y dos dimensiones

4. Aplicaciones
4.1 Esquinas reentrantes y singularidades en la frontera
4.2 Flujo viscoso incompresible
4.3 Flujo compresible
4.4 Problemas con frontera libre
4.5 Crecimiento del error en problemas de conducción-convección

Bibliografía

  • Mitchell, A.R. and Griffiths, D.F ., The Finite Method in Partial Differential Equations, Wiley, 1980.
  • Smith, G. D., J Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, Clarendon Press,3rd. Edition, 1985
  • Strikwerda, J. C., Finite D Schemes and Partial D Equations, Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, 1989
  • Ames, V A., Numerical Methods for Partial D. Equations, Academic Press, 3td. Edition, 1977
  • Lapidus, L. and Pinder, G. F ., Numerical Solution of Partial Differential Equations iii Science and Engineering, Wiley, 1982
  • Meis, T. and Marcowitz, U., Numerical Solution of Partial D Equations, Springer Applied Math. Scies. Ser 32, 1981
  • Richtmyer, R.D. and Morton, K.W., Difference Methods for Initial- Value Problems, Wiley, 2ndEdition, 1967
  • Godlewski E., Raviat P ., Numerical approximation of hyperbolic system s of conservation laws, Applied Math. Sciences, 118 Springer Verlag, 1996

Estadística

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Introducción
1.1 Limitaciones de la Estadística frecuentista

2. Interpretación de la probabilidad
2.1 Clásica
2.2 Frecuentista
2.3 Subjetiva

3. Elementos de la teoría de decisión
3.1 Estructura de un problema de decisión en ambiente de incertidumbre
3.2 Solución de un problema de decisión
3.2.1 Criterio mínimax
3.2.2 Criterio de la consecuencia más probable
3.2.3 Criterio de utilidad esperada máxima
3.3 Procesos de inferencia como problemas de decisión
3.4 Incorporación de información adicional en el proceso de decisión
3.5 Reglas de decisión
3.6 Decisiones secuenciales

4. Tratamiento axiomático de la decisión
4.1 Axiomas de coherencia
4.2 Definición de probabilidad
4.3 Definición de utilidad
4.4 Principio de utilidad esperada máxima

5. Funciones de utilidad
5.1 Teoría de la utilidad
5.2 Utilidad del dinero
5.3 Funciones de perdida

6. Información inicial
6.1 Probabilidad subjetiva
6.2 Determinación de la probabilidad inicial
6.3 Distribuciones iniciales no informativas
6.4 Distribuciones iniciales conjugadas

7. Inferencia estadística paramétrica bayesiana
7.1 Principio de verosimilitud
7.2 Suficiencia
7.3 Aproximación asintótica normal para la distribución final
7.4 Regla de Jeffreys
7.5 Construcción de familias conjugadas
7.6 Reparametrizaciones
7.7 Parámetros de interés y parámetros de ruido

8. Estimación puntual
8.1 Solución bayesiana
8.2 Definición de probabilidad

9. Contraste de hipótesis.
9.1 Solución bayesiana
9.2 Computación con resultados frecuentistas

10. Estimación por renglones
10.1 Renglones de probabilidad
10.2 Renglones de máxima densidad
10.3 Comparación con resultados frecuentistas

11. Predicción
11.1 Distribución predictiva
11.2 Predicción puntual
11.3 Predicción por regiones

Bibliografía

  • Berger, J.O. Statistical decision theory and bayesian analysis, 2nd. Edition, New York, Springer Verlag, 1985
  • Bernardo, J. M., Bioestadística: una perspectiva bayesiana, Barcelona, Vicens Vives, 1981
  • Bernardo, J.M. y Smith, A.F.M. Bayesian Theory, Chichester, Wiley, 1994
  • Box, G.E.P. y G.C. Tiao., Bayesian inference in statistical analysis, Addison-Wesley, 1973
  • DeGroot, M.H. Optimal Statistical Decisions, Nueva York, McGraw Hill, 1970
  • O’Hagan, A. Kendall’s Advanced Theory of Statistics, Vol.2:” Bayesian Inference”,Cambridge: Edward Arnold, 1994
  • Press, S. J., Bayesian statistics. Principles, models and applications, Nueva York, Wiley, 1989
  • Winkler, R.L., Introduction to bayesian inference and decision, Nueva York, Holt, Rinehart and Winston, 1972

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Familias paramétricas
1.1 Suficiencia y reducción de información muestra
1.2 El problema de estimación
1.3 El problema de pruebas de hipótesis
1.4 El problema de bondad de ajuste

2. Estimación paramétricas
2.1 Propiedades de estimadores
2.2 Métodos usuales de estimación
2.3 Teoría de Rao-Blackwell
2.4 Teoría de Crarnér-Rao
2.5 Estimación bayesiana y problemas de decisión

3. Intervalos de confianza
3.1 Verosimilitud relativa
3.2 Desarrollos de la verosimilitud
3.3 Pivótales asintóticos.
3.4 Reparametrización.
3.5 Distribución fiducial

4. Pruebas de hipótesis
4.1 Problemas de hipótesis simples
4.2 Lema de Neyrnan-Pearson
4.3 Simple contra compuesta. Potencias
4.4 Optimalidad y razón de verosimilitud
4.5 Ejemplos en muestreo de la normal

5. Estimación paramétricas
5.1 Descripción general paramétrica
5.2 Estimación
5.3 Pruebas de hipótesis

6. Estadística no paramétrica
6.1 Estimación. Teoría de Hoeffding.
6.2 Pruebas de bondad de ajuste.

Bibliografía

  • Mood, M. A., Garybili, F.A. y Boes, D.C.. Introduction to the theory of Statistics, McGraw Hill, 1974
  • Cox, D.R, y Hinkley, D. Theoretical Statistics, Chapman and Hall, 1974.
  • Kalbfleisch, J.D., Probability and Statistical Inference. Vol.2, Springer-Verlag, 1985
  • Migon, H y Gammerman, D. Statistical Inference. An Integrated Approach, Edward Arnold, 1999

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Familias paramétricas
1.1 Suficiencia y reducción de información muestra
1.2 El problema de estimación
1.3 El problema de pruebas de hipótesis
1.4 El problema de bondad de ajuste

2. Estimación paramétricas
2.1 Propiedades de estimadores
2.2 Métodos usuales de estimación
2.3 Teoría de Rao-Blackwell
2.4 Teoría de Crarnér-Rao
2.5 Estimación bayesiana y problemas de decisión

3. Intervalos de confianza
3.1 Verosimilitud relativa
3.2 Desarrollos de la verosimilitud
3.3 Pivótales asintóticos.
3.4 Reparametrización.
3.5 Distribución fiducial

4. Pruebas de hipótesis
4.1 Problemas de hipótesis simples
4.2 Lema de Neyrnan-Pearson
4.3 Simple contra compuesta. Potencias
4.4 Optimalidad y razón de verosimilitud
4.5 Ejemplos en muestreo de la normal

5. Estimación paramétricas
5.1 Descripción general paramétrica
5.2 Estimación
5.3 Pruebas de hipótesis

6. Estadística no paramétrica
6.1 Estimación. Teoría de Hoeffding.
6.2 Pruebas de bondad de ajuste.

Bibliografía

  • Mood, M. A., Garybili, F.A. y Boes, D.C.. Introduction to the theory of Statistics, McGraw Hill, 1974
  • Cox, D.R, y Hinkley, D. Theoretical Statistics, Chapman and Hall, 1974.
  • Kalbfleisch, J.D., Probability and Statistical Inference. Vol.2, Springer-Verlag, 1985
  • Migon, H y Gammerman, D. Statistical Inference. An Integrated Approach, Edward Arnold, 1999

Matemáticas Discretas

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Gráficas y digráficas
1.1 Gráficas y gráficas orientadas
1.2 Árboles y bosques
1.3 Trayectorias y conexidad
1.4 Subgráficas
1.5 Homeomorfismos, homeomorfismos reflexivos, isomorfismos de gráficas, automorfismos
1.6 Productos de gráficas y digráficas, producto cartesiano, normal o fuerte, composición de gráficas
1.7 Gráficas de líneas, de clanes, árboles de bloques y puntos de corte

2. Recorrido de gráficas
2.1 El teorema de Euler
2.2 Graficas hamiltonianas, el teorema de Ore
2.3 El problema del cartero chino
2.4 El problema del agente viajero

3. Gráficas planas
3.1 Gráficas planas y aplanables
3.2 Gráficas duales
3.3 La fórmula de Euler
3.4 El teorema de Kuratowski
3.5 Genero de una gráfica. El teorema de Heawood

4. Coloraciones de vértices y aristas
4.1 Número cromático
4.2 Los teoremas de los cinco colores
4.3 El teorema de Brook
4.4 Polinomios cromáticos
4.5 Coloraciones de aristas
4.6 El teorema de Vizing

5. Conjuntos independientes y clanes
5.1 Conjuntos independientes
5.2 El teorema de Ramsey
5.3 El teorema de Turán

6. Gráficas perfectas
6.1 El teorema de Lovász

7. Apareamientos
7.1 Apareamientos
7.2 Apareamientos y cubiertas en gráficas bipartitas
7.3 Apareamientos perfectos. El teorema de Tutte
7.4 El problema de asignación de personal

8. Digráficas
8.1 Gráficas dirigidas
8.2 Trayectorias dirigidas y ciclos dirigidos
8.3 Torneos
8.4 Núcleos

9. Conexidad
9.1 El teorema de Menger
9.2 Flujos
9.3 El teorema de Ford-Fulkerson

10. Redes
10.1 Flujos
10.2 Cortes
10.3 El teorema del flujo máximo y el corte mínimo
10.4 El teorema de Menger

11. Ciclos y cociclos
11.1 Espacio de ciclos y cociclos
11.2 Número ciclomático
11.3 Grupo fundamental
11.4 Cuello

Bibliografía

  • Harary F. Graph Theory, Addison-Wesley, 1969
  • Berge, C. Graphs, North-Holland, Amsterdam, 1986
  • Chartrand, G. and L. Lesniak. Graphs and digraphs, Wadsworth and Brooks /Cole of Mathematical Series, 1986
  • Bondy, J. A. and U. S. R. Murty. Graph theory with applications, New York, North-Holland, 1976
  • Ore O. Theory of Graphs, American Mathematical Society, 1962
  • Ringel, G. Map color theorem, Berlin, Springer Verlag, 1974
  • Lovasz, L. A characterization of perfect graphs, Journal of Combinatorial Theory (B), 95 - 98, 1972

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Introducción
1.1 Conjuntos independientes y circuitos
1.2 Bases y rango
1.3 Representaciones geométricas de matroides de rango pequeño
1.4 El algoritmo glotón

2. Dualidad
2.1 Duales de matroides representables y de matroides gráficos

3. Menores
3.1 Contracciones
3.2 Menores de matroides gráficos y de matroides F-representables

4. Conexidad
4.1 Conexidad en gráficas y matroides
4.2 Teorema de Tutte

5. Matroides gráficos y cográficos
5.1 Representabilidad
5.2 Dualidad
5.3 Teorema de Whitney

6. Matroides representables
6.1 Representaciones distintas
6.2 Construcciones
6.3 Representaciones sobre campos finitos
6.4 Matroides regulares

7. Matroides binarias
7.1 Caracterizaciones
7.2 Espacios de circuitos y cocircuitos

Bibliografía

  • Oxley, J. G. Matroid theory. Oxford University Press, 1992
  • Welsh, D. 1. A. Matroid theory. Academic Press, ‘1976
  • Wilson, R. J. An introduction to matroid theory, American Mathematical Monthly 80, 1973, pgs. 500-525

Probabilidad

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Temas y subtemas
1. Espacios de Probabilidad, variables aleatorias y distribuciones
1.1 Espacios y funciones medibles
1.1.1 Definiciones básicas y ejemplos
1.1.2 Lemas de clases monótonas
1.2 Espacios de medida y de probabilidad
1.2.1 Definiciones básicas y ejemplos
1.2.2 Distribuciones o leyes de probabilidad
1.2.3 Fui de distribución
1.2.4 Construcción del espacio de probabilidad asociado a una función de distribución. (Opcional). 1.3 Espacios y medidas producto, e independencia.

2. Esperanza y momentos de variables aleatorias, probabilidad y esperanza condicional
2.1 Integral de Lebesgue, esperanzas de funciones de variables aleatorias, momentos y Teorema de cambio de variable.
2.2 Probabilidad y Esperanza Condicional
2.2.1 Esperanza Condicional y sus propiedades elementales
2.2.2 Probabilidad Condicional
2.2.3 Distribuciones Condicionales

3. Leyes de los grandes números y el Teorema del limite central
3.1 Tipos de convergencia
3.1.1 Casi segura, en probabilidad, en Lp
3.1.2 Débil, o en distribución
3.2 Lema de Borel-Cantelli
3.3 Leyes de los grandes números
3.3.1 Ley débil de los grandes números
3.3.2 Ley fuerte de los grandes números, con cuarto momento finito
3.4 El Teorema del límite central
3.4.1 Función Característica y Teorema de Continuidad de Lévy (sin demostración)
3.4.2 Teorema del límite central para variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas en L2
3.5 Ley del logaritmo iterado, sin demostración

Bibliografía

  •  Ash, R. B, (1972) Real Analysis and Probability. Academic Press, New York.
  •  Billingsley, P. (1979) Probability and Measure. J. Wiley and sons; New York.
  •  Borkar, V. 5, (1995) Probability Theory, an advanced course. Universitext, Springer, New York.
  •  Breiman, L. (1971) Probability. J. Wiley and sons, New York.
  •  Chow, Y. S. y Teicher, H. (1988) Probability Theory. J. Wiley and sons, Chichester.
  •  Clarke, L. E. (1975) Random variables. Longrnan, London.
  •  Dudley, R. M. (1989) Real Analysis and probability. Wadsworth&Brooks/Cole, Pacific Grove.
  •  Durret, R. (1991) Probability: Theory and examples. Statistics/Probability Series, Wadsworth&Brooks/Cole, Pacific Grove.
  •  Feller, W. (1968-197 1) An Introduction to Probability Theory and Applications. Vols. 1 y II, J. Wiley and sons, New York.
    • \r\n
  •  Friested, y Gray. (1971) Probability. J. Wiley and sons, New York.
  •  Lahá, R. G. y Rohatgi, Y. K. (1979) Probability Theory. J. Wiley and sons, New York.

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Funciones características
1.1 Definiciones y ejemplos
1.2 Unicidad de la función característica
1.3 Teorema de inversión de Fourier
1.4 Teorema Central de Límite Multivariado
1.5 Arreglos triangulares y teorema de Lindeberg

2. Suma de variables aleatorias independientes
2.1 Teorema de equivalencia de Levy
2.2 Teorema de las tres series

3. Teorema de continuidad de Levy y leyes estables e infinitamente divisibles
3.1 Teorema de continuidad de Levy
3.2 Leyes infinitamente divisibles
3.3 Fórmulas de Levy-Khinchin
3.4 Leyes estables

4. El espacio C
4.1 Caracterizaciones de convergencia débil
4.2 Convergencia débil y tensión de medidas en el espacio C
4.3 Teorema de Donsker

5. El espacio D
5.1 Topología de Skorohod
5.2 Completez del espacio D
5.3 Convergencia débil y tensión en el espacio D
5.4 Funciones de distribución empíricas
5.5 Extensiones del teorema de Donsker

Bibliografía

  • Ash, R. B., Real analysis and probability, New York, Academic Press, 1972
  • Billinsley, P., Probability and measure, New York, John Wiley and Sons, 1979
  • Dudley, R. M., Real analysis and probability, Belmont, Wadsworth and Brooks/Cole, 1989

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Procesos Puntuales
1.1 Definiciones, construcción y propiedades básicas
1.2 Proceso de Poisson
1.3 Proceso de Poisson Compuesto
1.4 Procesos de Renovación

2. Cadenas de Markov (en espacio de estados numerable)
2.1 Definiciones y propiedades básicas
2.2 Probabilidades de transición, Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov
2.3 Ejemplos. Caminatas aleatorias, Proceso de nacimiento y muerte, Procesos de ramificación
2.4 Cadenas de Markov en espacio de estados finito
2.4.1 Clasificación de estados
2.4.2 Distribuciones límite (Teoría Ergódica)
2.4.3 Tiempos de absorción
2.5 Procesos de Markov en tiempo continuo

3. Martingalas (en espacio de estados numerable)
3.1 Definiciones básicas, propiedades y ejemplos
3.2 Tiempos de paro
3.3 El Teorema del paro opcional
3.4 Teoremas de convergencia (sin integrabilidad uniforme)

4. Procesos Gaussianos
4.1 Definiciones, propiedades básicas y ejemplos
4.2 Movimiento Browniano

Bibliografía

  • Asmussen, S. (1987) Applied Probability and queues. J. Wiley and sons, New York. -Cinlar, E. (1975) Introduction to Stochastic Processes. Prentice Hall
  • Feller, W. (1968-197 1) An Introduction to .Probability Theory and Applications. Vols. 1 y II, J. Wiley and sons, New York
  • Ross, S. (1996) Stochastic Processes. J. Wiley and sons, New York
  • Karlin, S. y Taylor, H. (1975) A first course in Stochastic Processes. Vols. 1 y II, Academic Press

Sistemas Continuos

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Ecuaciones de Movimiento
1.1 Mecánica de sistemas de partículas. Coordenadas generalizadas
1.2 Principio de mínima acción de Hamilton y D'Alambert
1.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange
1.4 Sistemas no conservativos y no holonómicos
1.5 Formulación Lagrangiana

2. Teoremas de Conservación
2.1 Conservación de energía y teorema del virial
2.2 Conservación del ímpetu
2.3 Conservación del centro de masa
2.4 Conservación del momento angular

3. El problema de dos cuerpos
3.1 Movimiento lineal. Masa reducida
3.2 El problema del potencial central
3.3 El problema de Kepler. Choque y dispersión de partículas

4. El problema del movimiento de un cuerpo sólido
4.1 Velocidad angular y el tensor de inercia
4.2 Ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido
4.3 Ángulos de Euler y las ecuaciones de Euler
4.4 El problema del trompo simétrico
4.5 Movimiento de un sistema de referencia no inercial

5. Pequeñas oscilaciones
5.1 Oscilaciones lineales: libres, forzadas y con amortiguamiento
5.2 Oscilaciones lineales de un sistema de partículas
5.3 Ideas sobre la teoría de perturbaciones
5.4 El problema de la resonancia paramétrica, cálculo asintótico de las regiones de estabilidad
5.5 Oscilaciones no lineales
5.6 El método de Poincaré-Linsted
5.7 Resonancia de osciladores no lineales
5.8 El método de promedios y el método de escalas múltiples

6. Ecuaciones de Hamilton
6.1 La transformación de Lagrange y las ecuaciones de Hamilton
6.2 Coordenadas cíclicas y teoremas de conservación
6.3 Principio de mínima acción de Hamilton

7. Transformaciones canónicas
7.1 Transformaciones canónicas e invariantes de Poincaré
7.2 Teorema de Routh
7.3 Paréntesis de Poisson y de Lagrange
7.4 Transformaciones infinitesimales
7.5 Perturbaciones canónicas y el método de Von Zeipel
7.6 constantes de movimiento y simetrías
7.7 Invariantes adiabáticos y escalas múltiples
7.8 Teorema de Liouville

Teoría de Hamilton-Jacobi e integrabilidad
8.1 función principal de Hamilton
8.2 Función característica de Hamilton
8.3 Variables de ángulo y acción
8.4 el teorema de Liouville-Arnold
8.5 El problema de Kepler y el cuerpo rígido
8.6 Integrabilidad y la latiz de Toda para cuatro cuerpos
8.7 Persistencia de estructuras integrables bajo perturbaciones canónicas

Nota: Las secciones siguientes son temas opcionales: del 5.4 al 5.8, del 7.4 al 7.8 y del 8.4 al 8.7.3.5 Aplicaciones de la teoría de Galois

Bibliografía

  • Goldstein, H., Classical Mechanic, Addison Wesley Pub., 1965
  • Arnold, V. I., Mathematical methods of classical mechanics, Springer Verlag, 1978
  • Landau, L. D. y Lifschitz E. M, Mecánica, curso de Física Teórica, Ed. Reverte, 1978
  • Eglit, M. and Hodge, D., Continuum Mechanics via problems and exercises. World Science, Vol. 19, World Scientific, 1996

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Ecuaciones de Euler y Navier-Stokes para el movimiento de fluidos inviscidos y viscosos compresibles
1.1 Algunos flujos potenciales. Movimiento de vórtices inviscidos Estabilidad para flujos inviscidos y la ecuación de Rayleigh Movimientos de hojas vórtices
1.2 Flujos de Poiseuille Couette. Capa límite. Arrastre provocado por flujos viscosos. Fórmula de Stokes. Generación y transporte de vorticidad
1.3 Estabilidad de flujos viscosos. Ecuación de Orr-Sommerfeld

2. Ecuaciones para el movimiento de cuerpos elásticos
2.1 Balance de momento y relaciones constitutivas. Aproximaciones para el movimiento de membranas, placas y vigas. Soluciones de los problemas lineales clásicos
2.2 Propagación de ondas elásticas en semiespacios. Dispersión y aplicaciones a ondas sísmicas

3. Elementos de elasticidad no lineal
3.1 Pandeo de vigas y placas
3.2 Bifurcación estacionaria

4. Flujo compresible
4.1 Hiperbolicidad y características
4.2 Ondas de choque y saltos hidráulicos
4.3 Aplicaciones a oleaje y flujo de canales

Bibliografía

  • Achenbach, J.D. Wave propagation in elastic solids, North Holland, Oxford, 1975
  • Antman, 5. S. Non linear problems of elasticity, Springer Verlag, New York, 1995
  • Batchelor, G. K., An introduction to fluid dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1990
  • Fung, Y. C. Foundations of solid mechanics, Prentice Hall, New Jersey, 1965
  • Jones, D. 5., The theory of electromagnetism, Pergamon P., London, 1964
  • Jones, D. S., Acoustic and electromagnetic waves, Cirendon, Oxford, 1986
  • Landau, L.D., and Lifschitz, E.M., Fluid mechanics, Pergamon P., London, 1959
  • Landau, L.D., and Lifschitz, E.M., Theory of elasticity, Pergamon P., London 1920
  • Recktorys, K. Variational methods in mathematics, science and engineering,. Reidel Pub., Holland, 1977
  • Sokolmikoff, I.S., Mathematical theory of el McGraw Hill, New York, 1956

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Método sistemático para la formulación de los modelos de sistemas continuos
1.1 Propiedades extensivas e intensivas
1.2 Ecuaciones de balance
1.3 Sistemas de una y de varias fases

2. Transporte
2.1 Ecuación general de transporte
2.2 Transporte conservativo y no conservativo
2.3 Transporte difusivo
2.4 Transporte en medios porosos

3. Flujo de fluidos en medios porosos
3.1 Caracterización de un medio poroso
3.2 Casos especiales: flujo incompresible, matriz incompresible

4. La mecánica de los medios continuos
4.1 Ecuaciones de balance de masa, momento, momento angular y energía

5. Transporte de energía
5.1 Transferencia de calor. Ecuaciones gobernantes
5.2 Técnicas de modelación aplicadas a sistemas energéticos

6. Flujo de fluidos libres
6.1 El tensor de esfuerzos
6.2 Fluidos compresibles no viscosos
6.3 Fluidos viscosos incomprensibles
6.4 Fluidos ideales

7. Mecánica de sólidos
7.1 El tensor de esfuerzos
7.2 El gradiente de deformaciones
7.3 Sólido elástico
7.4 Teoría lineal: dinámica y estática

8. Sistemas de varias fases
8.1 Fase y componente
8.2 Transporte con interacción química
8.3 Procesos de adsorción
8.4 Mecánica de yacimientos petroleros

9. Simulación numérica
9.1 Modelos estacionarios
9.2 Modelos difusivos
9.3 Modelos no difusivos

Bibliografía

  • Herrera, 1., Allen, M., Modelación Computacional de Sistemas en Ciencias e Ingeniería, Comunicaciones Técnicas, Serie Docencia y Divulgación, No. 9 (D17), Instituto de Geofísica, 1986
  • Allen, M.B., Herrera, I., Pinder, G.F., Numerical Modelling in Science and Engineering, John Wiley, 1988
  • Malvern, L.E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice Hall, 1960
  • Huyakorn, P.S., Pinder, G.F., Computational Methods in Surface Flow
  • Aziz, K., Settari, A., Petroleum Reservoir Simulation, Applied Science Publishers, London, 1979
  • Herrera, I., Montalvo, A., Modelos Matemáticos de Campos Geométricos, Comunicaciones Técnicas, IIMAS-UNAM, AN-295, 1982
  • Wang, C.C., Mathematical Princ4 of Mechanics and Electromagnetism, Plenum Press, 1979
  • Gurtin, M. E., An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1981
  • Karasudli, P., Foundations of solid mechanics, Kluwer Ac, 1991

Topología

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Grupo fundamental
1.1 Propiedades básicas
1.2 Teorema de Seifert-Van Kampen

2. Espacios cubrientes
2.1 Ejemplos (R S1 y X X/G)
2.2 Teoremas del levantamiento y de existencia de espacios cubrientes
2.3 Cálculo del grupo fundamental de S1 y de RPn
2.4 Aplicaciones
2.4.1 Teoremas del punto fijo de Brouwer en dimensión 2 y de Borsuk-Ulam para S2

3. Espacios de lazos y grupos de homotopía π_n (X, x0) si n es mayor o igual a 2. Definiciones y conmutatividad para estos grupos

4. Homología singular
4.1 lnvariancia homotópica
4.2 Relación entre π_1 (X, x0) y H_1(X)

5. Sucesión exacta de homología
5.1 Teorema de escisión
5.2 Sucesión de Mayer- Vietoris

6. La homología de Sn
6.1 Aplicaciones
6.1.1 Teoremas de campos vectoriales sobre Sn
6.1.2 Teorema de separación de Jordan-Brouwer
6.1.3 Teorema de invarianza del dominio
6.1.4 Teorema fundamental del álgebra
6.1.5 Teorema de punto fijo de Brouwer

7. Complejos esféricos y celulares (CW-complejos)
7.1 Cálculo de la homología de RPn, CPn y superficies cerradas
7.2 Números de Betti
7.3 Característica de Euler-Poincaré

Bibliografía

  • Aguilar, M. A, S. Gitler y C. Prieto. Topología algebraica: un enfoque homotópico, México, McGraw-Hill-UNAM, 1998
  • Greenberg, M and J. Harper. Algebraic Topology, a first course, Addison Wesley, 1981
  • Massey, W. A basic course in algebraic topology, Springer Verlag,1991
  • Spanier, E. Algebraic Topology, Springer Verlag, 1981

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Variedades topológicas y diferenciables
1.1 Definiciones básicas. Concepto de estructura diferencial. Estructuras no difeomorfas en S7 (opcional)
1.2 Subvariedades. Productos de variedades
1.3 Variedades con frontera
1.4 Funciones diferenciables

2. El haz tangente
2.1 Espacio tangente de una variedad en un punto (diferentes versiones). La derivada de una función en un punto
2.2 Definición de haz vectorial y prehaz vectorial
2.3 El haz tangente. La derivada de una función. Functores suaves. Nuevos haces vectoriales y fibrados: dual, tensor, cufía

3. Transversalidad
3.1 Valores regulares
3.2 Transversalidad
3.3 Teoremas de Sard y Thom

4. Formas normales
4.1 Teoremas de inmersión, submersión, función inversa, rango y rango constante
4.2 Variedades encajadas

5. Teoremas de Whitney
5.1 Particiones de la unidad. Funciones propias
5.2 Teoremas de inmersión, inmersión inyector y encaje de Whitney (Topología WO)

6. Homotopía y estabilidad
6.1 Estabilidad de inmersiones, sumersiones, encajes, difeomorfismos y transversalidad
6.2 Funciones de Morse

7. Teoremas de vecindad tubular y collar

8. Grado

8.1 El grado módulo 2. Teoremas de Jordan-Brouwer y Borsuk-Ulam
8.2 Orientación en variedades. El gnido en general. Teorema de Lefschetz
8.3 Característica de Euler y teorema de Poincaré-Hopf
8.4 Caracterización de la homotopía por el grado. Teorema de Ho

Bibliografía

  • Guillemin, V. and A. Pollack. Differential Topology, Prentice-Hall, 1974
  • Spivak, M. A comprehensive introduction to differential geometry, Publish or Perish, mc, 1979

Créditos: 9
Temas y subtemas
1. Conceptos básicos
1.1 Topologías, bases, sub-bases y vecindades
1.2 Topología generada por una métrica
1.3 Axiomas de numerabilidad
1.4 Operadores topológicos
1.5 Densidad
1.6 Subespacios topológicos

2. Continuidad y convergencia
2.1 Propiedades equivalentes a la continuidad de las funciones
2.2 Diversos tipos de funciones (abiertas, cerradas, homeomorfismos, encajes y retracciones)
2.3 Topologías inducidas por familias de funciones
2.4 Convergencia de redes y filtros
2.5 Caracterización de la continuidad de funciones mediante convergencia

3. Productos y cocientes
3.1 Producto topológico y su propiedad universal
3.2 Funciones producto
3.3 Topología cociente y diversas formas de obtener un espacio cociente
3.4 Teorema de transgresión
3.5 Topología suma (coherente) y suma directa de espacios topológico

4. Axiomas de separación
4.1 Espacios T -1 de Hausdorff, regulares y completamente regulares
4.2 Espacios normales
4.3 Teorema de Urysohn
4.4 Teorema de extensión de Tietze

5. Compacidad
5.1 Caracterizaciones de la compacidad con redes y filtros
5.2 Teorema de Tychonoff
5.3 Compacidad y axiomas de separación
5.4 Compacidad local
5.5 Compactación por un punto y compactación de Stone-Cech

6. Paracompacidad y metrizabilidad
6.1 Espacios paracompactos y axiomas de separación
6.2 Particiones de la unidad
6.3 Espacios metrizables
6.4 Teorema de Stone
6.5 Teorema de metrización de Urysohn
6.6 Teorema de metrización de Nagata-Smirnov-Bing

7. Conexidad y homotopía
7.1 Conexidad y conexidad por trayectorias
7.2 Conexidad local y local por trayectorias
7.3 Relación de homotopía
7.4 Espacios homotópicamente equivalentes y propiedades homotópicas
7.5 Espacios contráctiles y retracto (fuerte) por deformación
7.6 Teorema de extensión de homotopía de Borsuk

Tema opcional a elegir:

8. Más sobre conexidad
8.1 Teoremas de separación en espacios de Hausdorff
8.2 Casos en que las quasi componentes son conexas
8.3 Conexidad y el teorema de Sierpinski
8.4 El discontinuo de Cantor; propiedades y caracterización
8.5 Espacios métricos con la propiedad S
8.6 Caracterizaciones del arco y de la curva cerrada simple

9. Uniformidades
9.1 Definición de uniformidad por conecto y por cubiertas, relación entre ellas
9.2 Ejemplos fundamentales de espacios uniformes
9.3 Uniformización de espacios topológicos
9.4 Filtros de Cauchy y completez
9.5 Extensión de funciones uniformemente continuas
9.6 Completación de espacios uniformes
9.7 Compactación y espacios totalmente acotados

10. Grupos y espacios vectoriales topológicos
10.1 Breve introducción a los grupos topológicos
10.2 Espacios vectoriales topológicos
10.3 Convexidad local
10.4 Espacios vectoriales normados

11. Construcciones especiales de espacios
11.1 Cono y suspensión de espacios
11.2 Espacios de adjunción
11.3 Cilindro y cono de una transformación
11.4 CW-Complejos

12. Espacios de funciones
12.1 Topología de la convergencia puntual y topología compacto-abierta en C(X, Y)
12.2 Topologías admisibles
12.3 Ley exponencial
12.4 Topología de la convergencia uniforme
12.5 Equicontinuidad, aproximaciones uniformes y puntuales en C(X,Y)
12.6 Teorema de Stone-Weierstrass y Arzela-Ascoli