Seminario de topología - 2.5 hrs/sem
Hernández Hernández Jesús
Propiedades topológicas y geométricas de superficies y subvariedades
El objetivo de este seminario es que el estudiante aprenda los propiedades topológicas algebraicas y geométricas básicas de las superficies y sus subvariedades. Todo esto desde un punto de vista hacia teoría geométrica de grupos y topología de baja dimensión.
Temario
1. Topología algebraica de superficies.
a) Teorema de clasificación de superficies.
a.i) Superficies compactas.
a.2) Superficies no compactas.
b) Característica de Euler.
c) Grupos fundamentales.
c.1) Superficies de tipo finito.
c.2) Superficies de tipo infinito.
d) Cubrientes.
d.1) Universales.
d.2) Finitos.
d.3) Regulares.
d.4) Teoría de Birman-Hilden
e) Homología.
e.1) Simplicial.
e.2) Celular.
e.3) Números de Betti.
2. Superficies geométricas.
a) Breve vistazo a las geometrías esféricas, planas e hiperbólicas.
b)(G, X)-estructuras en superficies.
c) Superficies hiperbólicas y el Teorema de Cartan-Hadamard.
d) Superficies de Riemann y el Teorema de uniformización.
3. Subvariedades y sistemas de curvas.
a) Curvas y subvariedades de codimensión 1.
a.1) Curvas esenciales, homotopía e isotopía de curvas.
a.2) Números de intersección y posición mínima.
a.3) Subvariedades de codimensión 1 e isotopías ambiente.
b) Vecindades regulares, y curvas de 1 y 2 lados.
c) Isotopía ambiente e isotopía de curvas.
d) Tipos topológicos.
e) Multicurvas, sistemas de corte y descomposiciones en pantalones.
e.1) Definición, cardinalidad finita y finitos tipos topológicos.
e.2) Sistemas de corte, tipos topológicos y cardinalidad.
e.3) Descomposiciones en pantalones y cardinalidad.
e.4) Movimientos esenciales.
f) Cadenas.
g) Arcos y triangulaciones.
g.1) Arcos, homotopías, isotopías y tipos topológicos.
g.2) Frontera vs. Ponchaduras.
g.3) Triangulaciones, cardinalidad y movimientos esenciales.
4. Laminaciones y vías de tren.
a) El núcleo convexo de una superficie hiperbólica.
b) Propiedades para tipo finito.
c) Propiedades para tipo infinito.
Bibliografía
[1] Javier Aramayona. Hyperbolic structures on surfaces. In Geometry, topology and dynamics of character varieties, volume 23 of Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., pages 65–94.World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012.
[2] Ara Basmajian and Dragomir Šarić. Geodesically complete hyperbolic structures. Math. Proc. Cambridge Philos. Soc., 166(2):219–242, 2019.
[3] Benson Farb and Dan Margalit. A primer on mapping class groups, volume 49 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012.
[4] Albert Fathi, François Laudenbach, and Valentin Poénaru. Thurston’s work on surfaces, volume 48 of Mathematical Notes. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2012. Translated from the 1979 French original by Djun M. Kim and Dan Margalit.
[5] Allen Hatcher. Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
[6] Dan Margalit and Rebecca R. Winarski. Braids groups and mapping class groups: the Birman-Hilden theory. Bull. Lond. Math. Soc., 53(3):643–659, 2021.
[7] William S. Massey. A basic course in algebraic topology, volume 127 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1991.
[8] R. C. Penner and J. L. Harer. Combinatorics of train tracks, volume 125 of Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.
[9] Dragomir Šarić. Train tracks and measured laminations on infinite surfaces. Trans. Amer. Math.Soc., 374(12):8903–8947, 2021.
Requisitos
Ya sea haber llevado un curso (nivel licenciatura basta) de topología algebraica, o tener conocimientos básicos de grupos fundamentales, cubrientes y homología. Ya sea haber llevado un curso (nivel licenciatura basta) de geometría hiperbólica, o tener conocimientos básicos de modelos para la geometría hiperbólica y sus propiedades básicas.
