Temas selectos de álgebra I - 4.5 hrs/sem
Becerril Víctor
Introduccion a las Álgebras de Lie
Proporcionar los conceptos fundamentales de este tipo de álgebras no asociativas, incluyendo ideales y morfismos. Una sección sobre álgebras de Lie de dimensión pequeña proporciona una fuente útil de ejemplos. A continuación definimos las álgebras de Lie solubles y simples y se ofrece una estrategia para la clasificación de las álgebras de Lie complejas de dimensión finita. En lo que sigue se discuten el teorema de Engel, el teorema de Lie y el criterio de Cartan, y se introduce algo de teoría de representaciones.
Describimos la descomposición del espacio de raíces de una álgebra de Lie semisimple e introducimos diagramas de Dynkin para clasificar los posibles sistemas de raíces. Para poner en práctica estas ideas, encontramos las descomposiciones del espacio radicular de las álgebras de Lie clásicas. A continuación, esbozamos la notable clasificación de las álgebras de Lie simples de dimensión finita sobre los números complejos.
Temario
Introducción
1.1 Definición de las álgebras de Lie
1.2 Algunos ejemplos
1.3 Subálgebras e ideales
1.4 Homomorfismos
1.5 Álgebras
1.6 Derivaciones
1.7 Constantes de estructura
deales y homomorfismos
2.1 Construcciones con ideales
2.2 Álgebras de cociente
2.3 Correspondencia entre Ideales
Álgebras de Lie de baja dimensión
3.1 Dimensiones 1 y 2
3.2 Dimensión 3
Álgebras de Lie solubles y una clasificación aproximada
4.1 Álgebras de Lie solubles
4.2 Álgebras de Lie nopotentes
4.3 Una mirada al futuro
Subálgebras de gl(V)
5.1 Morfismos nilpotentes
5.2 Pesos
5.3 Lema de Invarianza
Teorema de Engel y teorema de Lie
6.1 Teorema de Engel
6.2 Demostración del teorema de Engel
6.3 Teorema de Lie
Algo sobre Teoría de Representaciones
7.1 Definiciones
7.2 Ejemplos de representaciones
7.3 Módulos para álgebras de Lie
7.4 Submódulos y módulos factoriales
7.5 Módulos irreductibles e indecomponibles
7.6 Homomorfismos
7.7 Lemma de Schur
Representaciones de sl(2,C)
8.1 Los módulos Vd
8.2 Clasificación de los módulos irreductibles de sl(2,C)
8.3 Teorema de Weyl
Criterios de Cartan
9.1 Descomposición de Jordan
9.2 Comprobación de la resolubilidad
9.3 La forma de Killing
9.4 Comprobación de la semisimplicidad
9.5 Derivaciones de álgebras de Lie semisimples
La descomposición del espacio radicular
10.1 Resultados preliminares
10.2 Subálgebras de Cartan
10.3 Definición de la descomposición del espacio raíz
10.4 Subálgebras isomorfas a sl(2,C)
10.5 Cadenas de raíces y valores propios
10.6 Subálgebras de Cartan como espacios de producto interno
Sistemas de raíces
11.1 Definición de sistemas de raíces
11.2 Primeros pasos en la clasificación
11.3 Bases para sistemas de raíces
11.4 Matrices de Cartan y diagramas de Dynkin
Las álgebras de Lie clásicas
12.1 Estrategia general
12.2 sl(l+1,C)
12.3 so(2l+1,C)
12.4 so(2l,C)
12.5 sp(2l,C)
12.6 Formas de Killing de las álgebras de Lie clásicas
12.7 Sistemas de raíces e isomorfismos
Clasificación de los sistemas de raíces
13.1 Clasificación de los diagramas de Dynkin
13.2 Construcciones
Bibliografía
Karin Erdmann and Mark J. Wildon "Introduction to Lie Algebras"
Requisitos
No es necesario haber cursado Álgebra Moderna.
Comentarios
De ser posible abordaremos el Teorema de Serre o bien el Álgebra envolvente de un álgebra de Lie.
