Temas selectos de álgebra I - 4.5 hrs/sem
Hernández Hernández Jesús
Introducción a la Teoría Geométrica de Grupos
El objetivo de este curso es que los estudiantes tengan los conocimientos básicos y generales en Teoría Geométrica de Grupos, con un enfoque más actual. Se espera que el estudiante, al finalizar el curso, pueda deducir propiedades de un grupo en base a sus acciones en objetos geométricos. Equivalentemente, se espera que el estudiante pueda estudiar y entender las diferentes estructuras geométricas asociadas a un grupo.
Temario
1. Grupos libres y acciones.
a) Definición de grupos libres.
b) Grafos de Cayley.
c) Grupos con árboles como grafos de Cayley.
d ) Acciones libres en árboles.
e) Subgrupos de grupos libres.
f ) Lema del Ping Pong.
2. Amalgamas.
a) Productos amalgamados y su estructura.
b) Extensiones HNN y su estructura.
c) Grafos de grupos y sus grupos fundamentales.
d ) Árbol de Bass-Serre.
e) Teorema fundamental de la teoría de Bass-Serre.
3. Estructuras geométricas en grupos.
a) Métrica de las palabras.
b) Poset de estructuras geométricas en grupos.
c) Acciones de grupos equivalentes a gran escala.
d ) Poset de acciones coacotadas.
e) Schwarz-Milnor.
f ) Aplicaciones
4. Emparejamientos.
a) Emparejamientos conjuntistas.
b) Emparejamientos topológicos.
c) Equivalencia entre emparejamientos y cuasiisometría.
d ) Aplicaciones a retículas.
5. Crecimiento.
a) Funciones de crecimiento en espacios métricos.
b) Equivalencia gruesa y equivalencia de Dehn de funciones.
c) Tipos de crecimiento.
d ) Tipos de crecimiento de grupos finitamente generados.
e) Breve vistazo a aplicaciones en variedades.
f ) Grupos nilpotentes y su crecimiento.
6. Funciones de Dehn y desigualdades isoperimétricas.
a) Diagramas de van Kampen.
b) Funciones de Dehn.
c) Cotas isoperimétricas en espacios.
d ) Desigualdades isoperimétricas en grupos.
e) Problema de la palabra.
7. Espacios de fines.
a) Espacio de fines de un espacio topológico.
b) Equivalencia cuasiisométrica.
c) Espacio de fines de un grupo.
d ) Teorema de Stallings.
8. Espacios y grupos de curvatura negativa.
a) Espacios hiperbólicos.
b) Grupos hiperbólicos.
c) Frontera e isometrías.
9. Grupos amenables.
a) Paradoja de Banach-Tarski.
b) Amenabilidad y equivalencias.
c) Propiedades de grupos amenables.
Bibliografía
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Requisitos
Conocimientos básicos de teoría de grupos. Conocimientos básicos de teoría de grafos, topología algebraica y geometría hiperbólica no son obligatorios pero
son convenientes.
