Temas selectos de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales I - 4.5 hrs/sem
Naumkin Pavel
Asintótica para tiempo largo de soluciones a problemas periódicos para ecuaciones de evolución no lineales: enfoque analítico avanzado
Estudiar el comportamiento asintótico para tiempo largo de soluciones a problemas periódicos para ecuaciones de evolución no lineales, en particular la ecuación de Schrödinger no lineal cuadrática, cubica y modelos análogos, mediante técnicas analíticas avanzadas. Se enfatizará el uso de transformadas de Fourier, series de Fourier, estimaciones de dispersión y métodos de análisis funcional en espacios periódicos.
Temario
Capitulo I: Introducción a ecuaciones de evolución no lineales
Fundamentos de ecuaciones dispersivas y no lineales
Revisión de la ecuación de Schrödinger (NLS) en contextos periódicos y no periódicos
Capitulo II: Problemas periódicos y formulación funcional
Ecuaciones en el toro T
Espacios de Sobolev periódicos y teoría de Fourier discreta
Formulación débil y problemas de Cauchy periódicos
Capitulo III: Métodos analíticos para el análisis de largo tiempo
Técnicas de reescalamiento y formulación de perfiles
Métodos de compensación de dispersión
Estimaciones tipo Strichartz y energía en el contexto periódico
Capitulo IV: Resultados principales de los artículos base
Estudio detallado del artículo de Hayashi y Naumkin (2023):
Ecuación de Schrödinger no lineal cuadrática con datos periódicos
Estructura de los perfiles asintóticos y técnicas de modulación de fase
Estudio del artículo de Kaikina et al. (2002):
Métodos espectrales para ecuaciones no lineales periódicas
Comportamiento de soluciones globales y técnicas de estabilidad no lineal
Capitulo V: Extensiones y líneas de investigación
Comparación con problemas en R\mathbb{R}R y efectos del dominio periódico
Posibles extensiones a sistemas acoplados o ecuaciones con perturbaciones estocásticas
Introducción a la teoría de modulaciones y problemas con datos casi periódicos
Bibliografía
N. Hayashi and P. I. Naumkin, Large time asymptotics of solutions to the periodic problem for the quadratic nonlinear Schrödinger equation, NoDEA Nonlinear Differ. Equ. Appl. 30, 23 (2023).
E. I. Kaikina, P. I. Naumkin, and I. A. Shishmarev, Periodic problem for a model nonlinear evolution equation, Adv. Differ. Equ. 7(5), 581--616 (2002).
Bibliografía complementaria:
T. Kato, On nonlinear Schrödinger equations, Ann. Inst. H. Poincaré Phys. Théor. 46(1), 113--129 (1987).
J. Bourgain, Fourier transform restriction phenomena for certain lattice subsets and applications to nonlinear evolution equations I, II, Geom. Funct. Anal. 3 (1993).
T. Tao, Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis, CBMS, 2006.
C. Sulem and P.-L. Sulem, The Nonlinear Schrödinger Equation: Self-Focusing and Wave Collapse, Springer, 1999.
Requisitos
Conocimientos sólidos de análisis funcional (espacios de Sobolev, operadores pseudodiferenciales)
Familiaridad con ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónico
Curso previo de ecuaciones dispersivas o ecuaciones en derivadas parciales no lineales
Comentarios
El curso está dirigido a estudiantes de maestría o doctorado en matemáticas o física matemática, interesados en ecuaciones dispersivas y problemas asintóticos. Se espera que el estudiante trabaje activamente con artículos de investigación y desarrolle una exposición o mini-proyecto sobre un aspecto particular del curso (p. ej. generalización, comparación numérica, etc.). El curso puede funcionar también como seminario avanzado con presentaciones de los alumnos sobre secciones específicas de los artículos.
