Temas selectos de geometría I - 4.5 hrs/sem
Hernández Hernández Jesús
Geometría Hiperbólica y Grupos Fuchsianos
Este curso se dividirá en dos partes. El objetivo de la primera parte será dar al estudiante los conocimientos básicos de geometría hiperbólica, como lo son: diferentes modelos del plano hiperbólico, definiciones de distancias e isometrías, círculos hiperbólicos, ángulos internos y áreas de triángulos, trigonometría hiperbólica, etc. El objetivo de la segunda parte se enfocará al estudio de subgrupos de isometrías del plano hiperbólico a través de sus acciones en el plano hiperbólico; de forma más concisa, tratará del estudio de grupos Fuchsianos: daremos la definición de un grupo Fuchsiano, sus propiedades y dominios fundamentales, y al final estudiaremos la geometría de estos grupos. En caso de que el tiempo lo permita, se estudiará también la conexión de estos temas con las estructuras hiperbólicas en superficies.
Temario
1. Introducción e historia a geometría no Euclideanas.
a) Breve historia de geometrías no Euclideanas.
b) Breve vistazo a diferentes modelos de geometría hiperbólica.
2. Transformaciones de Möbius y superficies de Riemann.
a) Superficies de Riemann y la esfera de Riemann.
b) Transformaciones de Möbius.
c) Disco de Poincaré y sus automorfismos.
d ) Semiplano superior y sus automorfismos.
3. Objetos y propiedades geométricas.
a) Métrica.
b) Objetos y constantes geométricas.
c) Áreas.
4. Clasificación de isometrías.
a) Clasificaciones de transformaciones de Möbius por puntos fijos y traza.
b) Circunferencias coaxiales y dinámica de las transformaciones de Möbius.
c) Clasificación de isometrías.
d ) Dinámica y propiedades de las isometrías.
5. Grupos Fuchsianos.
a) Breve vistazo a grupos topológicos.
b) Acciones continuas y P SL(2, R).
c) Acciones discretas y propias.
d ) Definición de grupos Fuchsianos y caracterización por acciones.
e) Conjuntos límites de grupos Fuchsianos.
f ) Propiedades algebraicas de grupos Fuchsianos.
g) Grupos elementales.
6. Dominios fundamentales.
a) Dominios fundamentales y de Dirichlet.
b) Dominios de Ford y círculos isométricos.
c) Estructura de dominios de Dirichlet.
d ) Breve vistazo a superficies de Riemann y orbidades.
7. Geometría de grupos Fuchsianos.
a) Grupos Fuchsianos geométricamente finitos, y cocompactos.
b) Signatura de un grupo Fuchsiano y el teorema de Poincaré.
c) Grupos discretos de reflexiones.
d ) Grupos Fuchsianos de primer y segundo tipo.
e) Grupos Fuchsianos finitamente generados.
f ) Caracterización de finitud geométrica.
8. Estructuras hiperbólicas en superficies.
a) Estructuras hiperbólicas en superficies.
b) Espacios cubrientes y función desarrolladora.
c) Teorema de Cartan-Hadamard.
Bibliografía
[1] Javier Aramayona. Hyperbolic structures on surfaces. In Geometry, topology and dynamics of character varieties, volume 23 of Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap., pages 65–94. World Sci. Publ., Hackensack, NJ, 2012.
[2] Martin R. Bridson and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature, volume 319 of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin, 1999.
[3] Svetlana Katok. Fuchsian groups. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1992.
[4] John G. Ratcliffe. Foundations of hyperbolic manifolds, volume 149 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, [2019] ©2019. Third edition [of 1299730].
[5] Caroline Series. Hyperbolic geometry MA 448. Notas de curso del Mathematics Institute de la University of Warwick, UK. Versión en línea, 2013.
[6] Dror Varolin. Riemann surfaces by way of complex analytic geometry, volume 125 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
Requisitos
Conocimientos básicos de análisis complejo y teoría de grupos. Conocimientos básicos de geometría diferencial y topología algebraica no son obligatorios pero son convenientes.
