Temas selectos de probabilidad I - 4.5 hrs/sem
Kaikina Elena
Ecuaciones Estocásticas en Dimensiones Infinitas: Teoría y Aplicaciones
Este curso aborda el estudio riguroso de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) en espacios de Hilbert, con énfasis en su formulación, existencia de soluciones, regularidad y comportamiento asintótico, tomando como base el enfoque funcional y probabilístico desarrollado por Da Prato y Zabczyk. Objetivo general es:
Brindar a los estudiantes una formación avanzada en la teoría de ecuaciones estocásticas en espacios de dimensión infinita, con herramientas del análisis funcional, teoría de semigrupos y procesos estocásticos. Al finalizar, el alumno será capaz de analizar modelos gobernados por EDEs en campos como la física matemática, la teoría del control, y la estadística de campos aleatorios.
Temario
Unidad I. Fundamentos y Preliminares
Espacios de Hilbert y operadores lineales no acotados
Medidas gaussianas en espacios de Hilbert
Procesos de Wiener en dimensión infinita
Unidad II. Ecuaciones Estocásticas Abstractas
Semigrupos de operadores lineales
Formulación abstracta de EDEs: dX(t)=(AX(t)+F(X(t)))dt+G(X(t))dW(t)
Soluciones mild, fuertes y débiles
Unidad III. Propiedades de las Soluciones
Existencia y unicidad
Regularidad en el tiempo y en el espacio
Propiedades de Markov y Feller
Unidad IV. Invariancia y Comportamiento Asintótico
Medidas invariantes
Estabilidad y atracción en distribución
Técnicas de Lyapunov
Unidad V. Aplicaciones Avanzadas
Ecuaciones parabólicas estocásticas
Control estocástico en dimensión infinita
Introducción a métodos numéricos para EDEs
Bibliografía
Bibliografía básica:
Da Prato, G., & Zabczyk, J. Stochastic Equations in Infinite Dimensions. Cambridge University Press, 1992.
Bibliografía complementaria:
Da Prato, G., & Zabczyk, J. Ergodicity for Infinite Dimensional Systems, Cambridge University Press, 1996.
Peszat, S., & Zabczyk, J. Stochastic Partial Differential Equations with Lévy Noise, Cambridge, 2007.
Prévôt, C., & Röckner, M. A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations, Springer, 2007.
Liu, W., & Röckner, M. Stochastic Partial Differential Equations: An Introduction, Springer, 2015.
Requisitos
Análisis funcional (espacios de Banach y Hilbert, operadores no acotados)
Probabilidad en espacios abstractos
Fundamentos de ecuaciones diferenciales parciales
Familiaridad con procesos estocásticos (Wiener, Itô, martingalas)
Se recomienda haber cursado materias como: Ecuaciones Diferenciales Estocásticas o Análisis Estocástico.
Comentarios
Se fomentará el trabajo con artículos de investigación y ejercicios aplicados. Habrá una parte del curso dedicada a problemas abiertos y direcciones actuales de investigación.
